Solution:
1°) Calcul de OÊB.

Tout d'abord, BÂE = BÂI + IÂB =
On sait que l'angle BÂE et l'angle au centre BÔE le même arc d'extrémités B et E.
Théorème:
? Dans un cercle, un angle inscrit a pour mesure la moitié d'un angle au centre. Dans un cercle, un angle inscrit a pour mesure le double d'un angle au centre. Dans un cercle, un angle inscrit a pour mesure la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc. Si dans un cercle un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc alors ils ont la même mesure.
Donc nous obtenons BÔE = .
Nous savons de plus que le triangle BOE est composé de deux rayons du cercle donc il est en O.
Par conséquent: OÊB = ( - )÷2 =

  

2°) Calcul de IÊB.

On sait que IÊB et ? IÊA IÂB IÔB AÎB sont deux angles qui le même arc d'extrémités I et B.
Théorème:
? Dans un cercle, si deux angles au centre interceptent le même arc alors ils sont égaux. Dans un cercle, tous les angles sont égaux. La symétrie centrale conserve les mesures d'angles. Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils sont égaux.
Donc nous pouvons conclure que IÊB = .

  

3°) Nature du triangle OEI.

Tout d'abord, OÊI = OÊB + BÊI =
Le triangle OEI est composé de deux rayons du cercle donc il est en O.
Ainsi, OÎE = donc IÔE = 180° - 2×OÊI =
Comme le triangle OEI possède trois angles égaux, il est .